Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 15$ comme une équation.

$y = 3 x^{2} + 18 x + 15$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} + 18 x + 15 = y$

Étape 3

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 18 x = y - 15$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = 18$

$c = 0 = y - 15$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 15$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (3)}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{9}{3}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$d = \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 4.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 3}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{324}{12}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez $324$ par $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 27$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$e = 0 - 27$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $27$ de $0$ .

$e = - 27$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(x + 3)}^{2} - 27$ .

$3 {(x + 3)}^{2} - 27 = y - 15$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$3 {(x + 3)}^{2} = y - 15 + 27$

Étape 5.2

Additionnez $- 15$ et $27$ .

$3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 3)}^{2} = y + 12$ par $3$ .

$\frac{3 {(x + 3)}^{2}}{3} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x + 3)}^{2}}{3} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez ${(x + 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + \frac{12}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + 4$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + 3)}^{2} = \frac{y + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 7.4

Multipliez $4$ par $3$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{y + 12}{3}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + 3)}^{2} = \frac{1}{3} (y + 12)$