Pré-calcul Exemples

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 4 (y - 1)$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ .

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ par $4$ .

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y - 1$ par $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2 + 1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{2 x + 1}{2})}^{2}}{4}$

Étape 1.2.3.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 x + 1}{2}$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2^{2}}}{4}$

Étape 1.2.3.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4}}{4}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.2.3.3

Associez.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez.

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Étape 1.2.3.4.1

Multipliez ${(2 x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 1.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16} + 1$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$

Étape 2.1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez ${(2 x + 1)}^{2}$ comme $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{16} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.2

Développez $(2 x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 1) + 1$

Étape 2.1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.1.1.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 (x^{2})) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 4} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.1.1.5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 (x)) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Étape 2.1.2.1.1.5.5

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + 1$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

Étape 2.1.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1 + 16}{16}$

Étape 2.1.2.1.4

Additionnez $1$ et $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{17}{16}$

Étape 2.1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{16}$

Étape 2.1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 2.1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{4})}^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1.1.1

Factorisez $\frac{1}{4}$ à partir de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.2.5.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.5.2.1.1.2.1

Factorisez $\frac{1}{4}$ à partir de $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 2.1.2.5.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 2.1.2.5.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Étape 2.1.2.5.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.1.2.5.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 2.1.2.5.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 2.1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{17 - 1}{16}$

Étape 2.1.2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $17$ .

$e = \frac{16}{16}$

Étape 2.1.2.5.2.4

Divisez $16$ par $16$ .

$e = 1$

Étape 2.1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Étape 2.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 1$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 2.5.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 2.5.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{1}{2}, 2)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 0$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foyer : $(- \frac{1}{2}, 2)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{2}$

Directrice : $y = 0$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foyer : $(- \frac{1}{2}, 2)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{2}$

Directrice : $y = 0$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 17}{16}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{4 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 4 + 17}{16}$

Étape 3.2.1.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{0 + 17}{16}$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $0$ et $17$ .

$f (- 1) = \frac{17}{16}$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\frac{17}{16}$ .

$\frac{17}{16}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $\frac{17}{16}$ .

$y = \frac{17}{16}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 17}{16}$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{16 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{16 - 8 + 17}{16}$

Étape 3.5.1.4

Soustrayez $8$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{8 + 17}{16}$

Étape 3.5.1.5

Additionnez $8$ et $17$ .

$f (- 2) = \frac{25}{16}$

Étape 3.5.2

La réponse finale est $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{4 {(1)}^{2} + 4 (1) + 17}{16}$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (1) + 17}{16}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 (1) + 17}{16}$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 + 17}{16}$

Étape 3.8.1.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (1) = \frac{8 + 17}{16}$

Étape 3.8.1.5

Additionnez $8$ et $17$ .

$f (1) = \frac{25}{16}$

Étape 3.8.2

La réponse finale est $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{4 {(2)}^{2} + 4 (2) + 17}{16}$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (2) + 17}{16}$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (2) = \frac{16 + 4 (2) + 17}{16}$

Étape 3.11.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (2) = \frac{16 + 8 + 17}{16}$

Étape 3.11.1.4

Additionnez $16$ et $8$ .

$f (2) = \frac{24 + 17}{16}$

Étape 3.11.1.5

Additionnez $24$ et $17$ .

$f (2) = \frac{41}{16}$

Étape 3.11.2

La réponse finale est $\frac{41}{16}$ .

$\frac{41}{16}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foyer : $(- \frac{1}{2}, 2)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{2}$

Directrice : $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Étape 5