Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 7$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, - 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{49 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{49 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $49$ et $9$ .

$\sqrt{58}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(8, - 3)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, - 3)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(8, - 3), (- 6, - 3)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 + \sqrt{58}, - 3)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 - \sqrt{58}, - 3)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}}{7}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 3^{2}}}{7}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 9}}{7}$

Étape 8.3.3

Additionnez $49$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{58}}{7}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{58}}$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{58}}$ par $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{58}}$ par $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{58}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{58}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{58}}^{2}$ comme $58$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{58}$ comme $58^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{7} x + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{7}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{7} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3 \cdot - 1}{7} - 3$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3}{7} - 3$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 11.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 3 \cdot 7}{7}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 21}{7}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $21$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 24}{7}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{7} x - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{7} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + 1 (\frac{3}{7}) - 3$

Étape 12.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + \frac{3}{7} - 3$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 12.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 3 \cdot 7}{7}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 21}{7}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $21$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{- 18}{7}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}, y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(1, - 3)$

Sommets : $(8, - 3), (- 6, - 3)$

Foyers : $(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{58}}{7}$

Paramètre focal : $\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$ , $y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

Étape 15