Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(7, 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(7, 1), (- 1, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(8, 1)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 1)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(8, 1), (- 2, 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Étape 8.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4} + 1$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 11.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 11.2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 1$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3) + 1$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3 + 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4}) + 1$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $3$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} + 1$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + 1$

Étape 12.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 12.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 + 4}{4}$

Étape 12.2.2.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(3, 1)$

Sommets : $(7, 1), (- 1, 1)$

Foyers : $(8, 1), (- 2, 1)$

Excentricité : $\frac{5}{4}$

Paramètre focal : $\frac{9}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{4} - \frac{5}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{13}{4}$

Étape 15