Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 12}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 (x - 1) (x + 6)}{(x - 2) (x + 3)}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{2 (x - 1) (x + 6)}{(x - 2) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{2 (x - 1) (x + 6)}{(x - 2) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{2 (x - 1) (x + 6)}{(x - 2) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{2 (x - 1) (x + 6)}{(x - 2) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 2$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n = m$ , l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ où $a = 2$ et $b = 1$ .

$y = 2$

Étape 8

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 2$

Asymptotes horizontales : $y = 2$

Aucune asymptote oblique

Étape 10