Pré-calcul Exemples

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(10)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + {(10)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + 100}$

Étape 5.3.3

Additionnez $36$ et $100$ .

$\sqrt{136}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$\sqrt{4 (34)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{34}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 6)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 6)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(0, 6), (0, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 2 \sqrt{34})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 2 \sqrt{34})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, 2 \sqrt{34}), (0, - 2 \sqrt{34})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(10)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 10^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 100}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $36$ et $100$ .

$\frac{\sqrt{136}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$\frac{\sqrt{4 (34)}}{6}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 34}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{34}}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (\sqrt{34})}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{10^{2}}{2 \sqrt{34}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{100}{2 \sqrt{34}}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 \sqrt{34}}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (\sqrt{34})}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \sqrt{34}}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{50}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{50}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{50}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.4.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.4.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Étape 9.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 9.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 9.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Étape 9.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{50 \sqrt{34}}{34}$

Étape 9.3.5

Annulez le facteur commun à $50$ et $34$ .

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Étape 9.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $50 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{34}$

Étape 9.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{2 (17)}$

Étape 9.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (25 \sqrt{34})}{2 \cdot 17}$

Étape 9.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \sqrt{34}}{17}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{3}{5} x + 0$

Étape 11

Simplifiez $\frac{3}{5} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{3}{5} x$ et $0$ .

$y = \frac{3}{5} x$

Étape 11.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{5}$

Étape 12

Simplifiez $- \frac{3}{5} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{3}{5} x$ et $0$ .

$y = - \frac{3}{5} x$

Étape 12.2

Associez $x$ et $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{5}$

Étape 12.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{5}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{5}, y = - \frac{3 x}{5}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(0, 6), (0, - 6)$

Foyers : $(0, 2 \sqrt{34}), (0, - 2 \sqrt{34})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{25 \sqrt{34}}{17}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{5}$ , $y = - \frac{3 x}{5}$

Étape 15