Pré-calcul Exemples

$72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $y^{2} + 24 y$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 24$

$c = 0$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (1)}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{1}$

Étape 1.1.3.2.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$d = 12$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{576}{4}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Divisez $576$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Étape 1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$e = 0 - 144$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 12)}^{2} - 144$ .

${(y + 12)}^{2} - 144$

Étape 1.2

Remplacez $y^{2} + 24 y$ par ${(y + 12)}^{2} - 144$ dans l’équation $72 x^{2} + y^{2} + 24 y = 0$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} - 144 = 0$

Étape 1.3

Déplacez $- 144$ du côté droit de l’équation en ajoutant $144$ des deux côtés.

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 0 + 144$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $144$ .

$72 x^{2} + {(y + 12)}^{2} = 144$

Étape 1.5

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{72 x^{2}}{144} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 12)}^{2}}{144} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 12$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 12$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, - 12)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{144 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{144 - 2^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{144 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{144 - 2}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $2$ de $144$ .

$\sqrt{142}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, - 12 + 12)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, - 12 - (12))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 24)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, - 12 + \sqrt{142})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, - 12 - (\sqrt{142}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(0, - 12 - \sqrt{142})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{12}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {\sqrt{2}}^{2}}}{12}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{144 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{12}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{12}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{\frac{2}{2}}}}{12}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{144 - 2^{1}}}{12}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 2}}{12}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 2}}{12}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $2$ de $144$ .

$\frac{\sqrt{142}}{12}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, - 12)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 24)$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 12 + \sqrt{142})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12 - \sqrt{142})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{142}}{12}$

Étape 10