Pré-calcul Exemples

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y - 172 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $172$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 18}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1296$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 36 x$ par $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ dans l’équation $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 16 y^{2} - 64 y = 172$

Étape 1.4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} - 64 y = 172 + 36$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 16 y^{2} - 64 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 16)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 32}{- 16}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $- 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{- 16 (2)}{- 16}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 64$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{- 64}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $4096$ par $- 64$ .

$e = 0 - - 64$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$e = 64$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ .

$- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$

Étape 1.6

Remplacez $- 16 y^{2} - 64 y$ par $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ dans l’équation $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} + 64 = 172 + 36$

Étape 1.7

Déplacez $64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 172 + 36 - 64$

Étape 1.8

Simplifiez $172 + 36 - 64$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $172$ et $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 208 - 64$

Étape 1.8.2

Soustrayez $64$ de $208$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 144$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, - 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(6, - 2), (- 2, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(7, - 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(7, - 2), (- 3, - 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Étape 8.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 2$

Étape 11.2.1.5

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 2$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2} - 2$

Étape 11.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 4}{2}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 7}{2}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 2 - 2$

Étape 12.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Étape 12.2.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Étape 12.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Étape 12.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} \cdot - 1 - 2$

Étape 12.2.1.5

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2} - 2$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Étape 12.2.1.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 4}{2}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}, y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, - 2)$

Sommets : $(6, - 2), (- 2, - 2)$

Foyers : $(7, - 2), (- 3, - 2)$

Excentricité : $\frac{5}{4}$

Paramètre focal : $\frac{9}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 15