Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Soustrayez $51$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Remplacez $4 x^{2} + 8 x$ par $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

Étape 1.4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $3 y^{2} - 24 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 12}{3}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $576$ par $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$e = 0 - 48$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$e = - 48$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ .

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Étape 1.6

Remplacez $3 y^{2} - 24 y$ par $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ dans l’équation $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

Étape 1.7

Déplacez $- 48$ du côté droit de l’équation en ajoutant $48$ des deux côtés.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

Étape 1.8

Simplifiez $- 51 + 4 + 48$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 51$ et $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 47$ et $48$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.6

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.8.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.8.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.8.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

Étape 5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

Étape 5.3.10

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

Étape 5.3.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{12}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

Étape 5.3.12

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.13.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.13.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

Étape 5.3.13.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Étape 5.3.13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

Étape 5.3.14

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.3.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.15.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.3.15.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 5.3.15.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 5.3.15.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 5.3.15.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.15.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.15.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.15.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.15.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.15.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.15.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.15.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.15.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 5.3.15.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.3.16

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Étape 6.5

Simplifiez

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.7

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.8

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.9.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.9.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.9.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.9.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.11

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{12}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.13

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.14.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.14.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.14.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.15

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.16.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.16.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.16.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.16.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.17

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 8.3.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

Étape 8.3.18

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Étape 8.3.19

Associez $\frac{1}{6}$ et $3$ .

$\frac{3}{6}$

Étape 8.3.20

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 8.3.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Étape 8.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.20.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 8.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 8.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Excentricité : $\frac{1}{2}$

Étape 10