Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Étape 1.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 1.3.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

Étape 1.3.3.1.2

Divisez $8$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 \cdot 4$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 2 - 4$

Étape 2.1.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$e = - 2$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 2.5.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 2.5.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 4, - 1)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 4$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - 3$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 4, - 2)$

Foyer : $(- 4, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 4$

Directrice : $y = - 3$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 4, - 2)$

Foyer : $(- 4, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 4$

Directrice : $y = - 3$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 2$

Étape 3.2.1.2

Divisez $36$ par $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 2$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 2$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f (- 6) = - 1$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 6$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 2$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 2$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 2$

Étape 3.5.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.2.1

Écrivez $- 10$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 2$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $\frac{- 10}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $\frac{- 10}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 2$

Étape 3.5.2.4

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 8}{4}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Soustrayez $40$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Étape 3.5.5.2

Additionnez $- 15$ et $8$ .

$f (- 5) = \frac{- 7}{4}$

Étape 3.5.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{7}{4}$

Étape 3.5.6

La réponse finale est $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 5$ est $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 2$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 2$

Étape 3.8.1.2

Divisez $4$ par $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 2$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 2$

Étape 3.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.8.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 2$

Étape 3.8.2.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f (- 2) = - 1$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 2$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 2$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 2$

Étape 3.11.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.11.2.1

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 2$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 3.11.2.3

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2$

Étape 3.11.2.4

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Étape 3.11.2.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.11.2.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 8}{4}$

Étape 3.11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.5.1

Soustrayez $24$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Étape 3.11.5.2

Additionnez $- 15$ et $8$ .

$f (- 3) = \frac{- 7}{4}$

Étape 3.11.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{7}{4}$

Étape 3.11.6

La réponse finale est $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 4, - 2)$

Foyer : $(- 4, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 4$

Directrice : $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Étape 5