Pré-calcul Exemples

$y^{2} = 1 - 25 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $25 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 25 x^{2} = 1$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $25 x^{2}$ .

$25 x^{2} + y^{2} = 1$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + y^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 1$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Étape 5.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Étape 5.3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Étape 5.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Étape 5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Étape 5.3.7

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Étape 5.3.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{24}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.9.1

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.3.9.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.9.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 1)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (1))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 1)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Étape 8.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Étape 8.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Étape 8.3.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Étape 8.3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Étape 8.3.8

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Étape 8.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{24}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Étape 8.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.10.1

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 8.3.10.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Étape 8.3.10.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Étape 8.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Étape 8.3.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.11.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 8.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Excentricité : $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 10