Pré-calcul Exemples

$16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x - 356 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $356$ aux deux côtés de l’équation.

$16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $16 y^{2} - 96 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 96$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 96$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 48}{16}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $16$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 96$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $9216$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$e = 0 - 144$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(y - 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 144$

Étape 1.3

Remplacez $16 y^{2} - 96 y$ par $16 {(y - 3)}^{2} - 144$ dans l’équation $16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 144 - 25 x^{2} + 100 x = 356$

Étape 1.4

Déplacez $- 144$ du côté droit de l’équation en ajoutant $144$ des deux côtés.

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 356 + 144$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 25 x^{2} + 100 x$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{50}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $- 25$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $100$ .

$e = 100$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Étape 1.6

Remplacez $- 25 x^{2} + 100 x$ par $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ dans l’équation $16 y^{2} - 25 x^{2} - 96 y + 100 x = 356$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 356 + 144$

Étape 1.7

Déplacez $100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 356 + 144 - 100$

Étape 1.8

Simplifiez $356 + 144 - 100$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $356$ et $144$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 500 - 100$

Étape 1.8.2

Soustrayez $100$ de $500$ .

$16 {(y - 3)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 400$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $400$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{16 {(y - 3)}^{2}}{400} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 4$

$k = 3$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $25$ et $16$ .

$\sqrt{41}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 8)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(2, 8), (2, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 3 + \sqrt{41})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 3 - \sqrt{41})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4^{2}}}{5}$

Étape 8.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 16}}{5}$

Étape 8.3.3

Additionnez $25$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{41}}{5}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{41}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{16}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{16}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{5}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2 + 3$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1 + 3$

Étape 11.2.1.5

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2} + 3$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2} + 3$

Étape 11.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 3$

Étape 11.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 6}{2}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{5}{4} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 12.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 12.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1 + 3$

Étape 12.2.1.5

Associez $\frac{- 5}{2}$ et $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2} + 3$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2} + 3$

Étape 12.2.1.7

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5 + 6}{2}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $5$ et $6$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}, y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, 3)$

Sommets : $(2, 8), (2, - 2)$

Foyers : $(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Paramètre focal : $\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{4} + \frac{11}{2}$

Étape 15