Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y - 32 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $3 x^{2} + 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{3}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $144$ par $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$e = 0 - 12$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$e = - 12$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

Étape 1.3

Remplacez $3 x^{2} + 12 x$ par $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ dans l’équation $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 16 y = 32$

Étape 1.4

Déplacez $- 12$ du côté droit de l’équation en ajoutant $12$ des deux côtés.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 16 y = 32 + 12$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $4 y^{2} - 16 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y - 2)}^{2} - 16$

Étape 1.6

Remplacez $4 y^{2} - 16 y$ par $4 {(y - 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 16 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} - 16 = 32 + 12$

Étape 1.7

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 32 + 12 + 16$

Étape 1.8

Simplifiez $32 + 12 + 16$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $32$ et $12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 44 + 16$

Étape 1.8.2

Additionnez $44$ et $16$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 60$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $60$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{60} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{15} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = \sqrt{15}$

$k = 2$

$h = - 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 2, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{20 - 15^{1}}$

Étape 5.3.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{20 - 1 \cdot 15}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\sqrt{20 - 15}$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $15$ de $20$ .

$\sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

Étape 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 2 - (2 \sqrt{5}), 2)$

Étape 6.5

Simplifiez

$(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 2 - (\sqrt{5}), 2)$

Étape 7.5

Simplifiez

$(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{20 - {\sqrt{15}}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{20 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{20 - 15^{1}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 15}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{\sqrt{20 - 15}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $15$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 2 \sqrt{5}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 2 \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{5}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{5}, 2)$

Excentricité : $\frac{1}{2}$

Étape 10