Pré-calcul Exemples

${(2 x + 4)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(2 x + 4)}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $2 x$ et $b$ $4$ dans l’expression.

$1 {(2 x)}^{3} {(4)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{3}$ par $1$ .

${(2 x)}^{3} {(4)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(4)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} {(4)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(4)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.9

Évaluez l’exposant.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot 4 + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $12$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.11

Simplifiez

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 3 (2 x) {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 6 x {(4)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 6 x \cdot 16 + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez $16$ par $6$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + 1 {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + {(2 x)}^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + 2^{0} x^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + 1 x^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + x^{0} {(4)}^{3}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + 1 {(4)}^{3}$

Étape 4.20

Multipliez ${(4)}^{3}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + {(4)}^{3}$

Étape 4.21

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} + 48 x^{2} + 96 x + 64$