Pré-calcul Exemples

${(x - 1)}^{5}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x - 1)}^{5}$ , $n = 5$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $6$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $- 1$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{5}$ par $1$ .

${(x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1 + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 {(x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 1 + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.7

Multipliez $10$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 {(x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 1 + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 {(x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.10

Simplifiez

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x {(- 1)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 1 {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.13

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + {(x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Étape 4.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 1 {(- 1)}^{5}$

Étape 4.15

Multipliez ${(- 1)}^{5}$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + {(- 1)}^{5}$

Étape 4.16

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 1$