Pré-calcul Exemples

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 1, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Notation d’intervalle :

$[- 1, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Étape 2.2.5

Multipliez $0$ par $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Étape 2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez par zéro.

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Étape 2.2.7.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Étape 2.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Étape 2.4.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Étape 2.4.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = 0$

Étape 2.4.9

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Étape 4

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 1, 0), (1, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Étape 5