Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 10 y + 12 x + 109 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 y + 12 x + 109 = - y^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $10 y$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x + 109 = - y^{2} + 10 y$

Étape 1.3

Soustrayez $109$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - y^{2} + 10 y - 109$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{12} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 (6)} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 6} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} + \frac{- 109}{12}$

Étape 2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{109}{12}$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.1.1.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Étape 3.1.1.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Étape 3.1.1.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 3.1.1.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Étape 3.1.1.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Étape 3.1.1.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Étape 3.1.1.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Étape 3.1.1.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 6))$

Étape 3.1.1.3.2.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.1.1.3.2.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- (1 \cdot 6)$ .

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 3.1.1.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 3.1.1.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Étape 3.1.1.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Étape 3.1.1.3.2.8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$d = - 5$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.4.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Étape 3.1.1.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.4.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Étape 3.1.1.4.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Étape 3.1.1.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Étape 3.1.1.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Étape 3.1.1.4.2.1.6

Associez $\frac{25}{12}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.1.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{- 25}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{109}{12} - - \frac{25}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.1.9

Multipliez $- - \frac{25}{12}$ .

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Étape 3.1.1.4.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Étape 3.1.1.4.2.1.9.2

Multipliez $\frac{25}{12}$ par $1$ .

$e = - \frac{109}{12} + \frac{25}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 109 + 25}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.3

Additionnez $- 109$ et $25$ .

$e = \frac{- 84}{12}$

Étape 3.1.1.4.2.4

Divisez $- 84$ par $12$ .

$e = - 7$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$ .

$- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y - 5)}^{2} - 7$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 7$

$k = 5$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 7, 5)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 3.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 3.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Étape 3.5.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 3.5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 3.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 3.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 3.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 3.5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 3)$

Étape 3.5.3.5

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 3.5.3.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 3.5.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 10, 5)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 5$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 4$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 7, 5)$

Foyer : $(- 10, 5)$

Axe de symétrie : $y = 5$

Directrice : $x = - 4$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 7, 5)$

Foyer : $(- 10, 5)$

Axe de symétrie : $y = 5$

Directrice : $x = - 4$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 9$ dans $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 9, 9.89897948)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $7$ de $9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $5 + 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{6}$

Étape 4.1.3

Convertissez $5 + 2 \sqrt{6}$ en décimale.

$= 9.89897948$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 9$ dans $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 9, 0.10102051)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $7$ de $9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{6}$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $5 - 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{6}$

Étape 4.2.3

Convertissez $5 - 2 \sqrt{6}$ en décimale.

$= 0.10102051$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $- 8$ dans $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 8, 8.46410161)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Étape 4.3.2.1.2

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $5 + 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{3}$

Étape 4.3.3

Convertissez $5 + 2 \sqrt{3}$ en décimale.

$= 8.46410161$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $- 8$ dans $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 8, 1.53589838)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Étape 4.4.2.1.2

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $5 - 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{3}$

Étape 4.4.3

Convertissez $5 - 2 \sqrt{3}$ en décimale.

$= 1.53589838$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 7, 5)$

Foyer : $(- 10, 5)$

Axe de symétrie : $y = 5$

Directrice : $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Étape 6