Pré-calcul Exemples

$y = \frac{3}{4} \cdot \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{3}{4}$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{3}{4}$

Étape 3

Déterminez la période de $\frac{3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})}{4}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 π}{3}$ dans le numérateur.

Déphasage : $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

Déphasage : $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4.4

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $\frac{- π}{3}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{π}{3}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{3}{4}$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1.1

Multipliez $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.1.2.1.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.1.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.1.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})}{4}$

Étape 6.1.2.1.3

Additionnez $- 2 π$ et $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{0}{3})}{4}$

Étape 6.1.2.1.4

Divisez $0$ par $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Étape 6.1.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{12}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{12}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Étape 6.2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})}{4}$

Étape 6.2.2.1.5.2

Additionnez $- π$ et $4 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{6})}{4}$

Étape 6.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.2.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (π)}{6})}{4}$

Étape 6.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Étape 6.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Étape 6.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Étape 6.2.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{0}{4}$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $0$ par $4$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.3

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Étape 6.3.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (π)}{4}$

Étape 6.3.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- \cos (0))}{4}$

Étape 6.3.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Étape 6.3.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Étape 6.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Étape 6.4.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})}{4}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Additionnez $5 π$ et $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{9 π}{6})}{4}$

Étape 6.4.2.1.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 6.4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})}{4}$

Étape 6.4.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{4}$

Étape 6.4.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{4}$

Étape 6.4.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{2})}{4}$

Étape 6.4.2.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Étape 6.4.2.1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{0}{4}$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez $0$ par $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Multipliez $2 \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.5.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Étape 6.5.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})}{4}$

Étape 6.5.2.1.3

Additionnez $4 π$ et $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{6 π}{3})}{4}$

Étape 6.5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{4}$

Étape 6.5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{4}$

Étape 6.5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{4}$

Étape 6.5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 π}{1})}{4}$

Étape 6.5.2.1.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 π)}{4}$

Étape 6.5.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Étape 6.5.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4}$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{3}{4}$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Étape 8