Pré-calcul Exemples

$y = \frac{1}{2} \cdot \cos (8 x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 8$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période de $\frac{\cos (8 x)}{2}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $8$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{8}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{4}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{8}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $8$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{π}{4}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\cos (8 (0))}{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

Étape 6.1.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{16}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{16}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{16}))}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8 (2)}))}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8 \cdot 2}))}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{16}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{16}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{16}) = 0$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{8}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8}))}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{8}))}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\cos (π)}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

Étape 6.3.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{16}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{16}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{16}))}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{8 (2)}))}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (8 (\frac{3 π}{8 \cdot 2}))}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 0$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (8 (\frac{π}{4}))}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (4 (2) (\frac{π}{4}))}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (4 \cdot (2 (\frac{π}{4})))}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (2 π)}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (0)}{2}$

Étape 6.5.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π}{16} & 0 \\ \frac{π}{8} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{π}{4} & \frac{1}{2} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{π}{4}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π}{16} & 0 \\ \frac{π}{8} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{π}{4} & \frac{1}{2} \end{array}$

Étape 8