Pré-calcul Exemples

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(y - 1)}^{2}$ comme $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Étape 1.3

Développez $(y - 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.4.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Étape 1.4.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.6.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Étape 2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 3.1.1.3.2.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Étape 3.1.1.4.2.3

Soustrayez $1$ de $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Étape 3.1.1.4.2.4

Divisez $8$ par $2$ .

$e = 4$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 3.5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 1$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 1)$

Foyer : $(\frac{9}{2}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{7}{2}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 1)$

Foyer : $(\frac{9}{2}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{7}{2}$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dans ce cas, le point est $(5, 2.41421356)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Étape 4.1.3

Convertissez $\sqrt{2} + 1$ en décimale.

$= 2.41421356$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dans ce cas, le point est $(5, - 0.41421356)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Étape 4.2.3

Convertissez $- \sqrt{2} + 1$ en décimale.

$= - 0.41421356$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $6$ dans $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dans ce cas, le point est $(6, 3)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (6) = 2 + 1$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (6) = 3$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 4.3.3

Convertissez $3$ en décimale.

$= 3$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $6$ dans $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dans ce cas, le point est $(6, - 1)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Étape 4.4.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Étape 4.4.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Étape 4.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (6) = - 1$

Étape 4.4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 4.4.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 1)$

Foyer : $(\frac{9}{2}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Étape 6