Pré-calcul Exemples

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - \frac{17}{8})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{15}{8}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, - 2)$

Foyer : $(- 3, - \frac{17}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{15}{8}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, - 2)$

Foyer : $(- 3, - \frac{17}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{15}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $48$ .

$f (- 4) = 16 - 20$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $20$ de $16$ .

$f (- 4) = - 4$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 4$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 50$ et $60$ .

$f (- 5) = 10 - 20$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $20$ de $10$ .

$f (- 5) = - 10$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 5$ est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.1.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 2.8.1.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.8.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.8.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$f (- 2) = 16 - 20$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $20$ de $16$ .

$f (- 2) = - 4$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$f (- 1) = 10 - 20$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $20$ de $10$ .

$f (- 1) = - 10$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, - 2)$

Foyer : $(- 3, - \frac{17}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Étape 4