Pré-calcul Exemples

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Étape 1.1.3

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.1.4.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.1.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Étape 1.1.4.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Étape 1.1.6.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 1.1.6.4.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Étape 1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Étape 1.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Étape 2.1.1.3.2.3

Divisez $3$ par $- 1$ .

$d = - 3$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez $- - \frac{9}{2}$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Additionnez $1$ et $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $10$ par $2$ .

$e = 5$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.5.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, \frac{9}{2})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 3$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{11}{2}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{9}{2})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{11}{2}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{9}{2})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{11}{2}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Étape 3.2.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (1) = 3$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Étape 3.5.3

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.5

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.6

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.8.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Étape 3.5.8.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Étape 3.5.9

La réponse finale est $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Étape 3.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Étape 3.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Étape 3.8.3

Additionnez $- 25$ et $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Étape 3.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.4.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Étape 3.8.4.2

Divisez $- 24$ par $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Étape 3.8.5

Soustrayez $12$ de $15$ .

$f (5) = 3$

Étape 3.8.6

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Étape 3.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Étape 3.11.3

Additionnez $- 16$ et $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Étape 3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Étape 3.11.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Étape 3.11.5

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 3.11.6

Associez $12$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 3.11.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Étape 3.11.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.8.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Étape 3.11.8.2

Soustrayez $15$ de $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Étape 3.11.9

La réponse finale est $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{9}{2})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Étape 5