Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \tan (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ . Définissez l’intérieur de la fonction tangente, $b x + c$ , pour $y = a \tan (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- \frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.1.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = - 3 π$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction tangente $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ égal à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Étape 1.4.1.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 1.4.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 1.5

La période de base pour $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ se produit sur $(- 3 π, π)$ , où $- 3 π$ et $π$ sont des asymptotes verticales.

$(- 3 π, π)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent.

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Étape 1.6.1

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 4$

Étape 1.6.3

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$4 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ se produisent sur $- 3 π$ , $π$ et chaque $x = - 3 π + 4 π n$ , où $n$ est un entier.

$x = - 3 π + 4 π n$

Étape 1.8

La tangente n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - 3 π + 4 π n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - 3 π + 4 π n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \tan (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $t a n$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{π}{| b |}$ .

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Étape 4.1

Déterminez la période de $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Étape 4.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Étape 4.1.3

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Étape 4.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 4$

Étape 4.1.5

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$4 π$

Étape 4.2

Déterminez la période de $- 2$ .

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Étape 4.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Étape 4.2.3

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 4$

Étape 4.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$4 π$

Étape 4.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$4 π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

Déphasage : $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $- π$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $4 π$

Déphasage : $- π$ ( $π$ à gauche)

Décalage vertical : $- 2$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = - 3 π + 4 π n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $4 π$

Déphasage : $- π$ ( $π$ à gauche)

Décalage vertical : $- 2$

Étape 8