Pré-calcul Exemples

$- 2 + 8 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2$ et $b = 8$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + 4}$

Étape 4.3

Additionnez $64$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{68}$

Étape 4.4

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$| z | = \sqrt{4 (17)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 2 \sqrt{17}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{8}{- 2})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{8}{- 2}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $1.81577498$ .

$θ = 1.81577498$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = 1.81577498$ et $| z | = 2 \sqrt{17}$ .

$2 \sqrt{17} (\cos (1.81577498) + i \sin (1.81577498))$