Pré-calcul Exemples

${(3 u^{3} + 5 v^{2})}^{10}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{10} \frac{10!}{(10 - k)! k!} \cdot {(3 u^{3})}^{10 - k} \cdot {(5 v^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{10!}{(10 - 0)! 0!} \cdot {(3 u^{3})}^{10 - 0} \cdot {(5 v^{2})}^{0} + \frac{10!}{(10 - 1)! 1!} \cdot {(3 u^{3})}^{10 - 1} \cdot {(5 v^{2})}^{1} + \dots + \frac{10!}{(10 - 10)! 10!} \cdot {(3 u^{3})}^{10 - 10} \cdot {(5 v^{2})}^{10}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3 u^{3})}^{10} \cdot {(5 v^{2})}^{0} + 10 \cdot {(3 u^{3})}^{9} \cdot {(5 v^{2})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(3 u^{3})}^{0} \cdot {(5 v^{2})}^{10}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

$59049 u^{30} + 984150 u^{27} v^{2} + 7381125 u^{24} v^{4} + 32805000 u^{21} v^{6} + 95681250 u^{18} v^{8} + 191362500 u^{15} v^{10} + 265781250 u^{12} v^{12} + 253125000 u^{9} v^{14} + 158203125 u^{6} v^{16} + 58593750 u^{3} v^{18} + 9765625 v^{20}$