Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ comme une équation.

$y = {(2 - x^{3})}^{5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(2 - y^{3})}^{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(2 - y^{3})}^{5} = x$ .

${(2 - y^{3})}^{5} = x$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$2 - y^{3} = \sqrt[5]{x}$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \sqrt[5]{x} - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{\sqrt[5]{x}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt[5]{x}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt[5]{x}$ comme $- \sqrt[5]{x}$ .

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.3

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$y^{3} = - \sqrt[5]{x} + 2$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{5}} + 2}$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- (2 - x^{3}) + 2}$

Étape 5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 2 + x^{3} + 2}$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{- 2 + x^{3} + 2}$

Étape 5.2.7

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.2.8

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(2 - x^{3})}^{5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2})}^{3})}^{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}}^{3}$ comme $- \sqrt[5]{x} + 2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ comme ${(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {({(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{5}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{5}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - {(- \sqrt[5]{x} + 2)}^{\frac{3}{3}})}^{5}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Étape 5.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 - (- \sqrt[5]{x} + 2))}^{5}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- - \sqrt[5]{x}$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + 1 \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Étape 5.3.3.3.2

Multipliez $\sqrt[5]{x}$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 1 \cdot 2)}^{5}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(2 + \sqrt[5]{x} - 2)}^{5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $2 + \sqrt[5]{x} - 2$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(0 + \sqrt[5]{x})}^{5}$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $0$ et $\sqrt[5]{x}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Étape 5.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 5.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Étape 5.3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x^{\frac{5}{5}}$

Étape 5.3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Étape 5.3.4.2.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 - x^{3})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- \sqrt[5]{x} + 2}$