Pré-calcul Exemples

$256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ , $y = x^{2} - 16$

Étape 1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $x^{2} - 16$ dans chaque équation.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ par $x^{2} - 16$ .

$256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2} = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 16)}^{2}$ comme $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$256 x^{2} + 16 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 x^{2} + 16 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$256 x^{2} + 16 x^{4} + 16 (- 32 x^{2}) + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $- 32$ par $16$ .

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $16$ par $256$ .

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $512 x^{2}$ de $256 x^{2}$ .

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$16 u^{2} - 256 u + 4096 = 4096$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.2

Soustrayez $4096$ des deux côtés de l’équation.

$16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $4096$ de $4096$ .

$16 u^{2} - 256 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.3.2

Additionnez $16 u^{2} - 256 u$ et $0$ .

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.4

Factorisez $16 u$ à partir de $16 u^{2} - 256 u$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $16 u$ à partir de $16 u^{2}$ .

$16 u (u) - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.4.2

Factorisez $16 u$ à partir de $- 256 u$ .

$16 u (u) + 16 u (- 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.4.3

Factorisez $16 u$ à partir de $16 u (u) + 16 u (- 16)$ .

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.6

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.7

Définissez $u - 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $u - 16$ égal à $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.7.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 u (u - 16) = 0$ vraie.

$u = 0, 16$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.11.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.11.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 2.13.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

Étape 2.14

La solution à $16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ est $x = 0, 4, - 4$ .

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 16$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 16$ .

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 16$

$x = 0$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 16$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(4)}^{2} - 16$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = 4$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 16$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 16$ .

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 16$

$x = 0$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 16$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez ${(4)}^{2} - 16$ .

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = 4$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 16$ par $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 16$

$x = - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(- 4)}^{2} - 16$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = - 4$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

Étape 8

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, - 16)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(0, - 16), (4, 0), (- 4, 0)$

Forme de l’équation :

$x = 0, y = - 16$

$x = 4, y = 0$

$x = - 4, y = 0$

Étape 10