Pré-calcul Exemples

$x y = 9$ , $x^{2} + y^{2} = 82$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x y = 9$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y = 9$ par $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Étape 1.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{9}{y}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 82$ par $\frac{9}{y}$ .

${(\frac{9}{y})}^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{y}$ .

$\frac{9^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ par $y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ par $y^{2}$ .

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81 + y^{2 + 2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $82 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$81 + y^{4} - 82 y^{2} = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.2

Remplacez $u = y^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 82 u + 81 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.3

Factorisez $u^{2} - 82 u + 81$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $81$ et dont la somme est $- 82$ .

$- 81, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 81 = 0$

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.5

Définissez $u - 81$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $u - 81$ égal à $0$ .

$u - 81 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.5.2

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 81) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 81, 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = y^{2}$ dans l’équation résolue.

$y^{2} = 81$

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.9

Résolvez la première équation pour $y$ .

$y^{2} = 81$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{81}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{81}$ .

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Étape 3.3.10.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9^{2}}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 9$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 9$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.11

Résolvez la deuxième équation pour $y$ .

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.3.12.1

Supprimez les parenthèses.

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \pm 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 3.3.13

La solution à $y^{4} - 82 y^{2} + 81 = 0$ est $y = 9, - 9, 1, - 1$ .

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $9$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Divisez $9$ par $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 9$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Divisez $9$ par $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $9$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Divisez $9$ par $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 9$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Divisez $9$ par $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $1$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Divisez $9$ par $1$ .

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $9$ dans chaque équation.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Divisez $9$ par $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 9$ dans chaque équation.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Divisez $9$ par $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $1$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Divisez $9$ par $1$ .

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{9}{y}$ par $- 1$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

$y = - 1$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Divisez $9$ par $- 1$ .

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

Étape 13

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 9)$

$(- 1, - 9)$

$(9, 1)$

$(- 9, - 1)$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(1, 9), (- 1, - 9), (9, 1), (- 9, - 1)$

Forme de l’équation :

$x = 1, y = 9$

$x = - 1, y = - 9$

$x = 9, y = 1$

$x = - 9, y = - 1$

Étape 15