Pré-calcul Exemples

$3 x - 3 y + 2 z = 9$ , $3 x + y - 3 z = - 8$ , $11 x - y - 2 z = 0$

Étape 1

Choisissez deux équations et éliminez une variable. Dans ce cas, éliminez $x$ .

$3 x - 3 y + 2 z = 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2

Éliminez $x$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $x$ opposés.

$(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 (3 x) - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 1 (2 z) = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.2.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (9)$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 9$

$3 x + y - 3 z = - 8$

Étape 2.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $x$ du système.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

Étape 2.4

$x$ est éliminé de l’équation résultante.

$4 y - 5 z = - 17$

Étape 3

Choisissez deux autres équations et éliminez $x$ .

$3 x + y - 3 z = - 8$

$11 x - y - 2 z = 0$

Étape 4

Éliminez $x$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $x$ opposés.

$(- 11) \cdot (3 x + y - 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez $(- 11) \cdot (3 x + y - 3 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 11 (3 x) - 11 y - 11 (- 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 11$ .

$- 33 x - 11 y - 11 (- 3 z) = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 11$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = (- 11) (- 8)$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 11$ par $- 8$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$(3) \cdot (11 x - y - 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez $(3) \cdot (11 x - y - 2 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$3 (11 x) + 3 (- y) + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $11$ par $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x + 3 (- y) + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

Étape 4.2.3.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = (3) (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

$- 33 x - 11 y + 33 z = 88$

$33 x - 3 y - 6 z = 0$

Étape 4.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $x$ du système.

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

Étape 4.4

$x$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 14 y + 27 z = 88$

Étape 5

Prenez les équations résultantes et éliminez une autre variable. Dans ce cas, éliminez $y$ .

$4 y - 5 z = - 17$

$- 14 y + 27 z = 88$

Étape 6

Éliminez $y$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$(7) \cdot (4 y - 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $(7) \cdot (4 y - 5 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (4 y) + 7 (- 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.2.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$28 y + 7 (- 5 z) = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.1.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = (7) (- 17)$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $7$ par $- 17$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$(2) \cdot (- 14 y + 27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Simplifiez $(2) \cdot (- 14 y + 27 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$28 y - 35 z = - 119$

$2 (- 14 y) + 2 (27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 2 (27 z) = (2) (88)$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $27$ par $2$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = (2) (88)$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $2$ par $88$ .

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

$28 y - 35 z = - 119$

$- 28 y + 54 z = 176$

Étape 6.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

Étape 6.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$19 z = 57$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $19 z = 57$ par $19$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $19 z = 57$ par $19$ .

$\frac{19 z}{19} = \frac{57}{19}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 z}{19} = \frac{57}{19}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{57}{19}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Divisez $57$ par $19$ .

$z = 3$

Étape 7

Remplacez la valeur de $z$ dans une équation avec $x$ déjà éliminé et résolvez pour la variable restante.

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Étape 7.1

Remplacez la valeur de $z$ dans une équation avec $x$ déjà éliminé.

$4 y - 5 \cdot 3 = - 17$

Étape 7.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$4 y - 15 = - 17$

Étape 7.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = - 17 + 15$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 17$ et $15$ .

$4 y = - 2$

Étape 7.2.3

Divisez chaque terme dans $4 y = - 2$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = - 2$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{4}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 7.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales et résolvez pour la dernière variable.

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Étape 8.1

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales.

$3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (3) = 9$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Simplifiez $3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (3)$ .

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1.1

Multipliez $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 8.2.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 x + 3 (\frac{1}{2}) + 2 (3) = 9$

Étape 8.2.1.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 2 (3) = 9$

Étape 8.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 6 = 9$

Étape 8.2.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} = 9$

Étape 8.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} = 9$

Étape 8.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x + \frac{3 + 6 \cdot 2}{2} = 9$

Étape 8.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$3 x + \frac{3 + 12}{2} = 9$

Étape 8.2.1.5.2

Additionnez $3$ et $12$ .

$3 x + \frac{15}{2} = 9$

Étape 8.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $\frac{15}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 9 - \frac{15}{2}$

Étape 8.2.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 8.2.2.3

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 8.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

Étape 8.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.5.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$3 x = \frac{18 - 15}{2}$

Étape 8.2.2.5.2

Soustrayez $15$ de $18$ .

$3 x = \frac{3}{2}$

Étape 8.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3}{2}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Étape 8.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 9

La solution du système d’équations peut être représentée sous la forme d’un point.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 3)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 3)$

Forme de l’équation :

$x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}, z = 3$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$7$

	$-$	$3$	$3$	$x$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$3$	$3$	$z$	$=$	$8$	$8$
$+$		$3$	$3$	$x$		$-$	$3$	$y$		$-$	$6$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$1$	$4$	$y$	$+$	$2$	$7$	$z$	$=$	$8$	$8$

		$2$	$8$	$y$	$-$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$	$9$
$+$	$-$	$2$	$8$	$y$	$+$	$5$	$4$	$z$	$=$		$1$	$7$	$6$
						$1$	$9$	$z$	$=$			$5$	$7$