Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 x^{3}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

Étape 2.1.2.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Étape 2.1.2.5

La réponse finale est $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

Étape 2.2.4

Déplacez $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $12 h^{2} x$ et $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ et $0$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h^{3}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $4 h$ à partir de $12 h^{2} x$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $4 h$ à partir de $12 h x^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.4.4

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.4.5

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ par $1$ .

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

Étape 4.4

Déplacez $h$ .

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

Étape 4.5

Déplacez $4 h^{2}$ .

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $12 x h$ et $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

Étape 5