Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x + h + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + h + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 5