Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x - 3$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ quand $x = - 1$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$2$	$- 3$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$	$- 5$

Étape 2.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 + \frac{- 5}{x + 1}$

Étape 2.6

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 - \frac{5}{x + 1}$

Étape 3

Comme $- 1 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 1$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 1$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x + \frac{1}{2}}$ quand $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$	$- 4$

Étape 4.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 + \frac{- 4}{x + \frac{1}{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 - \frac{8}{2 x + 1}$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{2} < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- \frac{1}{2}$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- \frac{1}{2}$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ quand $x = 3$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$2$	$- 3$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$	$3$

Étape 6.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 + \frac{3}{x - 3}$

Étape 7

Comme $3 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $3$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $3$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x + 3}$ quand $x = - 3$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$2$	$- 3$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$	$- 9$

Étape 8.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 + \frac{- 9}{x + 3}$

Étape 8.6

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 - \frac{9}{x + 3}$

Étape 9

Comme $- 3 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 3$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 3$

Étape 10

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x - \frac{3}{2}}$ quand $x = \frac{3}{2}$ .

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Étape 10.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Étape 10.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 10.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$

Étape 10.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$	$0$

Étape 10.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2$

Étape 11

Comme $\frac{3}{2} > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $\frac{3}{2}$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $\frac{3}{2}$

Étape 12

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x - 3}{x + \frac{3}{2}}$ quand $x = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 12.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Étape 12.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Étape 12.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$

Étape 12.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$	$- 6$

Étape 12.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 + \frac{- 6}{x + \frac{3}{2}}$

Étape 12.6

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 - \frac{12}{2 x + 3}$

Étape 13

Comme $- \frac{3}{2} < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- \frac{3}{2}$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- \frac{3}{2}$

Étape 14

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $3, \frac{3}{2}$

Bornes inférieures : $- 1, - \frac{1}{2}, - 3, - \frac{3}{2}$

Étape 15