Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{10})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{10}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $3 (- \frac{3}{10})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.7.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $- 7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 7$ par $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $140$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Étape 5