Pré-calcul Exemples

$v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Étape 1

Écrivez $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{- y}}{3} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$ .

$\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$

Étape 3.2

Résolvez $\sqrt{- y}$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\sqrt{- y}}{3} = x + 3$

Étape 3.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Étape 3.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Étape 3.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{- y} = 3 (x + 3)$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Simplifiez $3 (x + 3)$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{- y} = 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 3.2.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{- y} = 3 x + 9$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- y}$ comme ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- y)}^{1} = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$- y = {(3 x + 9)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(3 x + 9)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(3 x + 9)}^{2}$ comme $(3 x + 9) (3 x + 9)$ .

$- y = (3 x + 9) (3 x + 9)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(3 x + 9) (3 x + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 x (3 x + 9) + 9 (3 x + 9)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x + 9)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 9 \cdot 9$

Étape 3.4.3.1.3.1.6

Multipliez $9$ par $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 81$

Étape 3.4.3.1.3.2

Additionnez $27 x$ et $27 x$ .

$- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{9 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (9 x^{2})$ comme $- (9 x^{2})$ .

$y = - (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{54 x}{- 1}$ .

$y = - 9 x^{2} - 1 \cdot (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (54 x)$ comme $- (54 x)$ .

$y = - 9 x^{2} - (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.6

Multipliez $54$ par $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x + \frac{81}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.7

Divisez $81$ par $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Étape 4

Replace $y$ with $v^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Étape 5

Vérifiez si $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ est l’inverse de $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $v^{- 1} (v (x)) = x$ et $v (v^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $v^{- 1} (v (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$v^{- 1} (v (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ en remplaçant la valeur de $v$ par $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 {(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2} - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 ((\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.2

Développez $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ par $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{- x}$ à la puissance $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{- x}$ à la puissance $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{- x}}^{2}$ comme $- x$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x}$ comme ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.2.5

Simplifiez

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 (- 1)) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \sqrt{- x} \cdot - 1 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 1 \cdot \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{- x}$ comme $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 1 \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.8

Réécrivez $- 1 \sqrt{- x}$ comme $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.1.9

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.3.2

Soustrayez $\sqrt{- x}$ de $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 2 \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

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Étape 5.2.3.5.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.3.5.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{9}$ dans le numérateur.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 \frac{- x}{9} - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 1 (- x) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 1 x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.4

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.5.5

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 54 \cdot - 3 - 81$

Étape 5.2.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 54$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 (- 18) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Étape 5.2.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 \cdot (- 18 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Étape 5.2.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} - 54 \cdot - 3 - 81$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $- 54$ par $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $18 \sqrt{- x}$ de $18 \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0 - 81 + 162 - 81$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 81 + 162 - 81$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $- 81$ et $162$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 81 - 81$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x + 81 - 81$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Soustrayez $81$ de $81$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $v (v^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$v (v^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $v (- 9 x^{2} - 54 x - 81)$ en remplaçant la valeur de $v^{- 1}$ par $v$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 x^{2} - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x^{2} - 54 x - 81$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 54 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) - 81)}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 81$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 3$ plus $- 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} + (- 3 - 3) x - 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 3 x - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x^{2} - 3 x) - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (x (- x - 3) + 3 (- x - 3)))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x - 3) (x + 3)))}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3

Associez les exposants.

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 1 \cdot 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.4

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- 1 (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.5

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.6

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{1 + 1}))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{2}))}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.3.9

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 {(x + 3)}^{2})}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.5

Réécrivez $9 {(x + 3)}^{2}$ comme ${(3 (x + 3))}^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{{(3 (x + 3))}^{2}}}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 9}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.9

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 9$ .

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Étape 5.3.3.1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x) + 9}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.9.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 5.3.3.1.9.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x$

Étape 5.4

Comme $v^{- 1} (v (x)) = x$ et $v (v^{- 1} (x)) = x$ , $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ est l’inverse de $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$