Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ comme une équation.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y + \frac{1}{3} = x$ .

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = x - \frac{1}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x - \frac{1}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.1.2

Associez $2 x$ et $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $\frac{6 x + 1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $6 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{1}{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$