Pré-calcul Exemples

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ comme une équation.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (3 y + 6) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = e^{x} - 6$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $3 y = e^{x} - 6$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = e^{x} - 6$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Divisez $- 6$ par $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Étape 5.2.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 5.2.4.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Étape 5.2.4.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Étape 5.2.4.2.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{e^{x}}{3}$ et $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Étape 5.3.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Étape 5.3.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Étape 5.3.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Étape 5.3.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$