Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2 y + 5} = x$ .

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y + 5, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 y + 5, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y + 5$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 y + 5} = x$ par $2 y + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 y + 5} = x$ par $2 y + 5$ .

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (2 y + 5)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$1 = 2 x y + 5 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x y + 5 x = 1$ .

$2 x y + 5 x = 1$

Étape 3.4.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y = 1 - 5 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $2 x y = 1 - 5 x$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x y = 1 - 5 x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Étape 3.4.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{2 x + 5}{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 5 - 5$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

Étape 5.3.3.4

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

Étape 5.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$