Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ comme une équation.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{y + 1} = x + 2$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Étape 3.4

Développez $\ln (3^{y + 1})$ en déplaçant $y + 1$ hors du logarithme.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Simplifiez $(y + 1) \ln (3)$ .

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Étape 3.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Étape 3.8

Soustrayez $\ln (\frac{3}{x + 2})$ des deux côtés de l’équation.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Étape 3.9

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ par $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Étape 3.9.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $3^{x + 1}$ et $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$