Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 4 x^{2} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ comme une équation.

$y = - 4 x^{2} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 4 y^{2} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 y^{2} + 1 = x$ .

$- 4 y^{2} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = x - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = x - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{4}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\frac{- x + 1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{4}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.5.2.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)}$

Étape 3.5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x + 1}$

Étape 3.5.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{- x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ est le domaine de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Étape 6