Pré-calcul Exemples

$f (x) = e^{x + 4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{x + 4}$ comme une équation.

$y = e^{x + 4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{y + 4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{y + 4} = x$ .

$e^{y + 4} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{y + 4})$ en déplaçant $y + 4$ hors du logarithme.

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $y + 4$ par $1$ .

$y + 4 = \ln (x)$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (x) - 4$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ est l’inverse de $f (x) = e^{x + 4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{x + 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 4$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

Étape 5.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (x) - 4)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\ln (x) - 4) + 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (x)$ et $0$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x) - 4) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ est l’inverse de $f (x) = e^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$