Pré-calcul Exemples

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ comme une équation.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 1} = x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 1} = x$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $\sqrt{y + 1}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 3.4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Étape 3.4.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Étape 3.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 1$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ est l’inverse de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Étape 5.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Étape 5.2.3.3

Multipliez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Étape 5.2.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Étape 5.2.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Étape 5.2.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Étape 5.2.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Étape 5.2.3.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ est l’inverse de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$