Pré-calcul Exemples

$f (x) = 1 - x^{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 - x^{2}$ comme une équation.

$y = 1 - x^{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 - y^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 - y^{2} = x$ .

$1 - y^{2} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$y^{2} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = - x + 1$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- x + 1}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- x + 1}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- x + 1}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

$y = \sqrt{- x + 1}$

$y = - \sqrt{- x + 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 1 - x^{2}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{- x + 1}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 1 - x^{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ est le domaine de $f (x) = 1 - x^{2}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Étape 6