Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ comme une équation.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y x - 6 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $3 y (x - 2) = 5 x$ par $3 (x - 2)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y (x - 2) = 5 x$ par $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Étape 5.2.3

Associez $5$ et $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

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Étape 5.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.4.6

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.5

Multipliez $5$ par $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Étape 5.2.6

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.1

Associez $3$ et $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Étape 5.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $30$ à partir de $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Étape 5.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $3 x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Étape 5.3.3

Associez $6$ et $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Étape 5.3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 5$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 5 (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $6$ par $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 5.3.6

Réduisez l’expression $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 5.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 5.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$