Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ comme une équation.

$y = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6}{\sqrt{y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6}{\sqrt{y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{y}} = x$

Étape 3.2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 3.2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$x \cdot (\sqrt{y}) = 6$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $x$ par $\sqrt{y}$ .

$x \sqrt{y} = 6$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x \sqrt{y})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} y^{1} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Simplifiez

$x^{2} y = 6^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x^{2} y = 36$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 36$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 36$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Étape 5.2.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 5.2.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Étape 5.2.3.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{36}{x^{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Étape 5.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$