Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$ égal à $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} - 25 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ et dont la somme est $b = 49$ .

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Étape 2.1.5.1.1

Factorisez $49$ à partir de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Réécrivez $49$ comme $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Étape 2.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Étape 2.1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 2.1.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.9.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 2.1.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Étape 2.1.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Étape 2.1.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 25$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (25)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Étape 2.3.2.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Étape 2.3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 5$

Étape 2.3.2.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5 i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5 i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5 i, - 5 i$

Étape 2.4

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Étape 3