Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ égal à $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez.

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Étape 2.1.5.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Étape 2.1.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Étape 2.1.6.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Étape 2.1.6.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.7.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.1.7.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 2.1.7.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Étape 2.1.7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Étape 2.1.7.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.7.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Étape 2.1.7.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.7.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.9

Développez $(x^{2} + 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.10.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Étape 2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Étape 2.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Étape 2.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.14.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.14.1.1

Déplacez $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Étape 2.1.14.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Étape 2.1.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Étape 2.1.15

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Étape 2.1.16

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Étape 2.1.17

Factorisez.

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Étape 2.1.17.1

Réécrivez $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.17.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.17.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Étape 2.1.17.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Étape 2.1.17.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Étape 2.1.17.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 3