Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$

Étape 1

Définissez $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ égal à $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 2.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

Étape 2.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

Étape 2.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 11 \cdot 3 - 15$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$27 - 45 + 11 \cdot 3 - 15$

Étape 2.1.3.5

Soustrayez $45$ de $27$ .

$- 18 + 11 \cdot 3 - 15$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $11$ par $3$ .

$- 18 + 33 - 15$

Étape 2.1.3.7

Additionnez $- 18$ et $33$ .

$15 - 15$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15}{x - 3}$

Étape 2.1.5

Divisez $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ par $x - 3$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$15$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x - 15$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 5$

Étape 2.1.6

Écrivez $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $20$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Étape 3