Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

Étape 1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1 - y^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 5

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ dans l’expression.

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ comme ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ comme ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.2

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.4

Réécrivez ${(1 - y^{2})}^{2}$ comme $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ .

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.5

Développez $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- y^{2}$ par $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.1.7

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.8.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9

Réécrivez ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ comme $(1 + y) (1 - y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ comme ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.9.5

Simplifiez

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.10

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1.5.1

Déplacez $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.11.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.12

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.13

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.14

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.15

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.16

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.16.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

Étape 6.16.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Additionnez $- 4 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Étape 7.2

Associez les termes opposés dans $2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

Étape 7.2.2

Additionnez $2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ et $0$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

Étape 7.3

Soustrayez $3 y^{4}$ de $2 y^{4}$ .

$2 - y^{4} + y^{4}$

Étape 7.4

Associez les termes opposés dans $2 - y^{4} + y^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Additionnez $- y^{4}$ et $y^{4}$ .

$2 + 0$

Étape 7.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$