Pré-calcul Exemples

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$

Étape 1

Factorisez $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Étape 1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

$3 {(- 2)}^{3} + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 8 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 24 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 24 + 16 \cdot 4 + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.5

Multipliez $16$ par $4$ .

$- 24 + 64 + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 24$ et $64$ .

$40 + 28 \cdot - 2 + 16$

Étape 1.3.7

Multipliez $28$ par $- 2$ .

$40 - 56 + 16$

Étape 1.3.8

Soustrayez $56$ de $40$ .

$- 16 + 16$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16}{x + 2}$

Étape 1.5

Divisez $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ par $x + 2$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{2} + 20 x$

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x + 16$

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} + 10 x + 8$

Étape 1.6

Écrivez $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 x + 8)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 (x) + 8)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $10$ comme $4$ plus $6$

$(x + 2) (3 x^{2} + (4 + 6) x + 8)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) ((3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(x + 2) ((3 x + 4) (x + 2))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (3 x + 4) (x + 2)$