Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 1$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 (u) + 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 1)$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1)$

Étape 8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1^{2})$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 1) (x - 1)$